Les métriques sous-Finslériennes en dimension 3 - Thèses de l'Université de Toulon Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2022

Sub-Finsler metrics in dimension 3.

Les métriques sous-Finslériennes en dimension 3

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions la géométrie locale des structures sous-Finslériennes de type L 1 en dimension 3. Localement, ce problème peut être formulé comme un problème du temps minimum pour le système de contrôle d x/xt= u1 f(x(t))+ u2 g(x(t)), où (f,g) sont des champs de vecteurs, tels que {f,g,[f,g]} est une base de R 3 autour d’un point q 0 , et les contrôles u 1 ,u 2 sont des fonctions mesurables telles que |u 1 (t)|+|u 2 (t)|≤1 pour tout t. Nous étudions les objets géométriques suivants : petites sphères, géodésiques courtes, lieu conjugué, lieu de coupure. Sous l’hypothèse que la métrique sous-Finslérienne soit compatible avec une métrique sous-Riemannienne, nous pouvons écrire une forme normale pour les champs de vecteurs f,g et définir sept invariants de la métrique, nommés A,C 1 ,C 2 ,D 1 ,D 2 ,E 1 ,E 2 , et donner une description de la « calotte supérieure » des petites sphères, dans le cas non-générique où C 1 =0, les autres invariants non-nuls.
In this thesis, we study the local geometry of L 1 sub-Finsler structures in dimension 3. Locally, this problem can be formulated as a minimum time problem for the control system d x/xt= u1 f(x(t))+ u2 g(x(t)), where (f,g) are vector fields, such that {f,g,[f,g]} is a basis of R 3 around a point q 0 , and the controls u 1 ,u 2 are measurable functions such as |u 1 (t)|+|u 2 (t)|≤1 for all t. We study the following geometric objects: small spheres, short geodesics, conjugate locus, cut locus. Under the assumption that the sub-Finsler metric is compatible with a sub-Riemannian metric, we can write a normal form for the vector fields f,g and define seven invariants of the metric, called A,C 1 ,C 2 ,D 1 , D 2 ,E 1 ,E 2 , and give a description of the "upper cap" of the small spheres, in the non-generic case where C 1 =0, the other invariants are non-zero.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

tel-03723279 , version 1 (14-07-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03723279 , version 1

Citer

Fazia Harrache. Les métriques sous-Finslériennes en dimension 3. Optimisation et contrôle [math.OC]. Université de Toulon, 2022. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03723279⟩
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