Échantillonnage préférentiel et méta-modèles : méthodes bayésiennes optimale et défensive
Résumé
This paper considers the problem of the choice of an instrumental distribution for the estimation by preferential sampling of an integral $\int h(x) \pi(x)\, {\rm d}x $, where the function $h$ is expensive to evaluate. To build such an instrumental distribution, we adopt a Bayesian approach where we introduce a prior about $h$, which makes it possible to construct a Bayes-optimal instrumental distribution, given evaluation results of $h$. This instrumental distribution minimizes the expectation (with respect to the prior distribution about $h$) of the (frequentist) variance of estimation. However, the variance of estimation obtained using this instrumental distribution can be larger than that of the Monte Carlo estimator in some cases. We present a "defensive" correction of the Bayes-optimal instrumental distribution to address this issue. We illustrate the approach on a problem of estimation of a probability of failure, based on an industrial numerical simulator from the domain of structural reliability.
Cet article considère le problème du choix d'une loi instrumentale pour l'estimation par échantillonnage préférentiel d'une intégrale du type $\int h(x) \pi(x)\, {\rm d}x$, la fonction $h$ étant coûteuse à évaluer. Pour construire une telle loi instrumentale, nous adoptons une approche bayésienne consistant à introduire un a priori sur $h$, ce qui permet, étant donnés des résultats d'évaluations de $h$, de construire une loi instrumentale optimale au sens bayésien. Cette loi instrumentale, bien que permettant de réduire l'espérance (par rapport à la loi a priori) de la variance fréquentiste d’estimation, peut conduire dans certains cas à une variance supérieure à celle de l'estimateur de Monte Carlo. Nous proposons une correction, dite "défensive", de la loi optimale bayésienne pour remédier à ce problème. Une application à l'estimation d'une probabilité de défaillance, à partir d'un code industriel issu du domaine de la fiabilité des structures, illustre l'approche proposée.
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